设向量β可由向量组α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，…，α<sub>m</sub>线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，…，α<sub>m</sub>线性无关．

设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_m线性无关．

分类：线性代数（经管类）
发表：2023年09月09日 23时09分21秒
作者： admin
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设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_m线性无关．

证明：如果β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m的表示式唯一，又ι₁α₁+ι₂α₂+…+ι_mα_m=0，则β+0=β=(k₁+ι₁)α₁+(k₂+ι₂)α+…+(k_m+ι_m)α由唯—性得k₁+ι₂=k₁，k₂+ι₂=k₂，…，k_m+ι_m=k_m，所以ι₁=ι₂=…=ι_m=0，即α₁，α₂，…，α_m线性无关．反之，如果α₁，α₂，…，α_m线性无关，又β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=ι₁α₁+ι₂α₂+…+ι_mα_m则(k₁-ι₁)α₁+(k_m-ι_m)α₂+…+(k_m-ι_m)α_m=0由α₁，α₂，…，α_m的线性无关性得k₁-ι₂=k₂-ι₂=…=k_m-ι_m=0即k₁=ι₁，k₂=ι₂，…，k_m=ι_m，所以表示式唯一

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